برهمکنش الکترومغناطیسی

هر برهمکنشی بین ذراتی بوقوع می‌پیوندد که ویژگی مشترکی موسوم به بار برهمکنش را داشته باشند. به بار برهمکنش الکترومغناطیسی، «بار الکتریکی» می‌گویند. محیط‌های مادی عمدتاً از ذراتی تشکیل شده‌اند که دارای این بار هستند. بطور خاص می‌توان از الکترون و پروتون نام برد. بنابراین برهمکنش الکترومغناطیس نقش عمده‌ای در توصیف ساختار و رفتار محیط‌های مختلف خواهد داشت.

حالت الکترومغناطیسی ماده

حالت الکتریکی و مغناطیسی ماده را با مجموعه‌ای از کمیات مشخص می‌کنیم. این کمیات ماکروسکوپی هستند. چون برای المان‌هایی از محیط تعریف می‌شوند که بسیار بزرگ‌تر از ابعاد یک ذره‌اند. المان‌ها در اغلب موارد شامل تعداد بسیار زیادی ذره هستند. این کمیت‌ها از میانگین آماری برخی از ویژگی‌های ذرات بدست می‌آیند.

کمیات زیر برای توصیف حالت الکترومغناطیسی ماده بکار می‌روند:

• چگالی بار \(\rho\): توزیع فضایی ذرات باردار (بار بر واحد حجم)
• چگالی جریان \(\vec J\): حرکت ذرات باردار (جریان در واحد حجم)
• قطبندگی \(\vec P\): ممان دوقطبی الکتریکی در واحد حجم ناشی از توزیع ناهمگن ذرات با بار منفی و مثبت. این عدم تقارن ممکن است ناشی از حالت تعادل نیروهای بین ذرات تشکیل‌دهندهٔ ماده باشد و یا بر اثر نیروهای خارجی در ماده القاء شود.
• مغناطش \(\vec M\): ممان دوقطبی مغناطیسی در واحد حجم ناشی از توزیع جریان‌های الکتریکی در محیط.

میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی

در نظریهٔ الکترومغناطیس، برهمکنش بر اساس دو میدان الکتریکی و مغناطیسی بیان می‌شود. میدان‌ها ابزاری ریاضی هستند که توزیع فضایی و زمانی یک کمیت را بیان می‌کنند. میدان‌های الکتریکی \(\vec E\) و مغناطیسی \(\vec H\)، نیروی بهنجار شدهٔ الکتریکی و مغناطیسی را در نقاط مختلف فضا بر حسب زمان بیان می‌کنند. این نیروها کمیت‌هایی برداری هستند. بنابراین میدان‌ها نیز برداری خواهند بود.

با توجه به اینکه این نیروها هم ناشی از عدم تقارن در توزیع فضایی بار ذرات تشکیل‌دهندهٔ محیط در آن نقطه است و هم ناشی از بارهای خارج از ناحیهٔ مورد نظر، بنابراین دو میدان ترکیبی جدید \( \vec D\) و \( \vec B\) را که بصورت زیر تعریف می‌شوند بکار می‌بریم \[\vec D=\epsilon_0\vec E+\vec P\] \[\vec B=\mu_0(\vec H+\vec M)\] (به \( \vec D\) میدان جابجایی الکتریکی و به \( \vec B\) میدان القای مغناطیسی هم می‌گویند).

اگر میزان قطبندگی و مغناطش محیطی در همهٔ شرایط صفر باشد و صفر بماند، به آن محیط اصطلاحاً «خلاء» می‌گوییم. در این حالت رابطهٔ بین میدان‌ها به شکل سادهٔ \(\vec D=\epsilon_0\vec E\) و \(\vec B=\mu_0\vec H\) در می‌آید. بر این اساس به ثابت‌های \(\epsilon_0\) و \(\mu_0\) به ترتیب گذردهی الکتریکی خلاء و تراوایی مغناطیسی خلاء گفته می‌شود.

رابطهٔ بین \(\vec D\) و \(\vec E\) ممکن است شکل‌های پیچیده‌ای داشته باشد. اگر شدت میدان کم باشد، تغییرات زمانی میدان در محدوده‌های تشدیدی ماده نباشد و محیط همسانگرد باشد می‌توان رابطه‌ای خطی بین این دو فرض کرد. در این حالت بین \(\vec P\) و \(\vec E\) نیز باید رابطه‌ای خطی برقرار باشد. این رابطه را بصورت \(\vec P=\chi\vec E\) می‌نویسیم و به \(\chi\) ضریب نفوذپذیری الکتریکی ماده می‌گوییم که در این حالت مقداری ثابت خواهد بود. همین مورد را می‌توان در رابطه با میدان مغناطیسی هم گفت و بر اساس آن ضریب نفوذپذیری مغناطیسی \(\chi_M\) را برای هر محیط تعریف کرد. اگر محیط کاملاً همسانگرد باشد، \(\chi\) با کمیتی نرده‌ای نشان داده می‌شود. در مورد محیط‌های ناهمسانگرد \(\chi\) با یک تانسور مرتبه ۲ نشان داده می‌شود. اگر تغییرات زمانی میدان الکتریکی با فرکانس‌های تشدید ماده سازگار باشد ممکن است این کمیت (چه اسکالر و چه تانسور) کمیتی مختلط با مؤلفه‌های مجازی باشد.

در شدت‌های بالا رابطه خطی نیست. در این حالت و از طریق تانسورهای مراتب بالاتر به هم مرتبط خواهند بود و وارد ناحیهٔ اپتیک غیرخطی خواهیم شد.

میدان‌ها بر اساس قوانین تجربی بدست‌آمده از طریق آزمایش تعریف می‌شوند.

قواعد تجربی حاکم بر میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی

• قانون گاؤس: \(\vec\nabla\cdot \vec D=\rho\) ( واگرایی میدان الکتریکی برابر است با چگالی بار. )
  اگر این قانون را در یک ناحیه بطور مجموع بیان کنیم، می‌توان گفت که کل شار خطوط میدان الکتریکی از سطحی بسته (مجموع مؤلفه‌های میدان الکتریکی عمود بر آن سطح) برابر با مجموع بار درون سطح است. یعنی: \(\Phi=\oint \vec E \cdot \vec{ds}=\frac{1}{\epsilon_0}\int_V\rho dv\)


• قانون بیوساوار: \(\vec\nabla\cdot\vec B=0\) ( واگرایی میدان مغناطیسی صفر است. )
  یعنی مقدار نیروی بهنجارشدهٔ مغناطیسی در یک نقطه ناشی از چگالی جریان \(\vec J\) در المان حجمی \(dV\) که در موقعیت \(\vec r\) از المان قرار گرفته است از رابطهٔ \(\vec B=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_V\vec J\times\frac{\vec r}{|\vec r|^3}dV\) بدست می‌آید.


• قانون آمپر: \(\vec\nabla\times\vec B=\mu_0\left(\vec J+\frac{\partial\vec D}{\partial t}\right)\) ( میزان چرخش میدان مغناطیسی با میزان چگالی جریان الکتریکی و تغییرات زمانی میدان جابجایی الکتریکی متناسب است. )
  بیان دیگر این قانون آن است که مجموع مولفهٔ مماس میدان مغناطیسی روی هر مسیر بسته با جریان عبوری از سطح آن مسیر متناسب است. به عبارت دیگر: \(\oint\vec{B}\cdot\vec{dl}=\mu_0 I\) .


• قانون فاراده: \(\vec\nabla\times E= -\frac{\partial \vec B}{\partial t}\) (میزان چرخش میدان الکتریکی با میزان تغییرات زمانی میدان مغناطیسی متناسب است. )
  بیان دیگر این قانون آن است که مجموع مؤلفهٔ مماس میدان الکتریکی روی هر مسیر بسته با آهنگ تغییرات زمانی شار مغناطیسی عبوری از سطح آن مسیر متناسب است. به عبارت دیگر: \(\oint\vec E\cdot \vec{dl}=-\frac{d\Phi_m}{dt}\) .

همانگونه که دیده می‌شود بر اساس این قواعد تجربی، میدان‌ها را با محاسبهٔ واگرایی و چرخش آن‌ها بدست می‌آوریم. نظریهٔ ریاضی میدان‌ها به ما اطمینان می‌دهد که این کار امکان‌پذیر است و میدان‌ها بطور منحصر بفرد تعیین خواهند شد. مجموعهٔ این قواعد بصورت چهار معادلهٔ ماکسول بیان می‌شوند.

در محیطی که \(\vec P\) و \(\vec M\) همواره صفر باشند (محیط موسوم به خلاء)، \(\vec D=\epsilon_0\vec E\) و \(\vec B=\mu_0 \vec H\) است. در این حالت معادلات ماکسول را می‌توان بجای \(\vec D\) و \(\vec B\) برحسب میدان‌های \(\vec E\) و \(\vec H\) بصورت زیر نوشت:

اگر محیط خلاء را در نظر بگیریم و در ناحیهٔ مورد نظر \(\vec J\) و \(\vec \rho\) هم صفر باشند به آن ناحیه « فضای آزاد» می‌گوییم در این حالت معادلات شکل ساده‌شدهٔ زیر را پیدا می‌کنند:

امواج الکترومغناطیسی

همانگونه که شکل معادلات ماکسول نشان می‌دهد تغییرات زمانی میدان \(\vec E\) باعث تغییر مکانی میدان \(\vec H\) می‌شود و بالعکس. این در‌هم‌تنیدگی فضا و زمان در معادلات نوع خاصی از تغییرات را نشان می‌دهد که نشان‌دهندهٔ پدیدهٔ آشنای موج است. برای دیدن صریح نوع وابستگی اگر تغییرات زمانی معادلهٔ سوم و تغییرات مکانی معادلهٔ چهارم را حساب کنیم، خواهیم داشت: \begin{equation}\frac{\partial}{\partial t}(\vec\nabla\times\vec H)=\epsilon_0\frac{\partial^2\vec E}{\partial t^2}\qquad\qquad ; \qquad\qquad \vec\nabla\times(\vec\nabla\times\vec E)=-\mu_0\frac{\partial}{\partial t}(\vec\nabla\times\vec H)\end{equation} با ترکیب این دو معادله (قراردادن مقدار \( \frac{\partial}{\partial t}(\vec\nabla\times\vec H)\) از معادلهٔ راست در معادلهٔ چپ) خواهیم داشت: \[\vec\nabla\times(\vec\nabla\times\vec E)=-\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2\vec E}{\partial t^2}\] با توجه به اتحاد \(\vec\nabla\times(\vec\nabla\times\vec E)=\vec\nabla(\vec\nabla\cdot\vec E)-\nabla^2\vec E\) و در نظر گرفتن معادلهٔ اول از معادلات ماکسول ( \(\vec\nabla\cdot\vec E=0\) ) داریم: \[\nabla^2\vec E=\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2\vec E}{\partial t^2}\] این معادله، یاد‌آور معادلهٔ موج است که نوعی وابستگی از جنس \(x-vt\) را بین تغییرات زمانی و مکانی بیان می‌کند و در حالت کلی بصورت \[\nabla^2A=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 A}{\partial t^2}\] نشان داده می‌شود و در آن \( A\) می‌تواند هر کمیت فیزیکی باشد. در این معادله \(v\) سرعت انتشار موج یا انتقال انرژی است. با فرآیندی مشابه، شبیه همین رابطه موج را برای میدان مغناطیسی بصورت \[\nabla^2\vec H=\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2\vec H}{\partial t^2}\] خواهیم داشت. بنابراین می‌توان نتیجه گرفت که نوسانات میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی بصورت موج در محیط منتشر خواهند شد. موجی که در محیط خلاء با سرعت \(\sqrt{\frac{1}{\mu_0\epsilon_0}}\) منتشر می‌شود. با قراردادن مقدار تجربی \(\epsilon_0=8.854\times 10^{-12}\ {\rm F/m}\) و مقدار نظری (تعریف‌شدهٔ) \(\mu_0=4\pi\times 10^{-7}\ {\rm H/m}\) ، مقدار سرعت \(2.99796\times 10^8\ {\rm m/s}\) بدست می‌آید. این مقدار به مقدار اندازه‌گیری شدهٔ سرعت نور در هوا بسیار نزدیک است.

حل معادلهٔ موج بسیار استاندارد است و با روش‌های مختلف از جمله با روش تفکیک متغیرها در مبحث معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی می‌توان آن را حل کرد. اگر معادله را در یک بعد فضایی (مثلاً \(z\)) در نظر بگیریم، بصورت زیر در خواهد آمد: \[\frac{d^2E(z,t)}{dz^2}=\mu_0\epsilon_0\frac{d^2E(z,t)}{dt^2}=\frac{1}{v^2}\frac{d^2E(z,t)}{dt^2}\] در صورتی که فرض کنیم می‌توان وابستگی تابعی زمان و مکان را از هم جدا کرد، جوابی بصورت \(E(z,t)=E_z(z)E_t(t)\) را در معادله جانشین می‌کنیم که بصورت \(E_t\frac{d^2E_z}{dz^2}=\frac{E_z}{v^2}\frac{d^2E_t}{dt^2}\) در می‌آید که اگر آن را مرتب کنیم، خواهیم داشت: \(\frac{v^2}{E_z}\frac{d^2E_z}{dz^2}=\frac{1}{E_t}\frac{d^2E_t}{dt^2}\) . طرف راست این معادله فقط به \(z\) و طرف چپ فقط به \(t\) ربط دارد. بنابراین‌ باید برابر با مقدار ثابت باشد. برای اینکه جواب‌های واگرا را نداشته باشیم، این مقدار را منفی و برابر با \(-\omega^2\) در نظر می‌گیریم. دو معادلهٔ زیر حاصل خواهد شد که از آن دو \(E_z\) و \( E_t\) بدست خواهد آمد: \[\frac{d^2 E_z}{dz^2}+\frac{\omega^2}{v^2}E_z=0 \qquad\qquad و \qquad\qquad \frac{d^2 E_t}{dt^2}+\omega^2 E_t=0\] جواب این دو معادله بصورت \[E_z=C_1e^{i(\omega/v)z}+C_2e^{-i(\omega/v)z}\qquad\qquad و \qquad\qquad E_t=D_1e^{i\omega t}+D_2e^{-i\omega t}\] است که در آن \(C_1\)، \(C_2\) ، \(D_1\) و \(D_2\) مقادیر ثابت هستند که به شرایط اولیه یا انرژی نوسان بستگی دارند. شکل کلی جواب بصورت \(E(z,t)=E_z(z)\times E_t(t)\) خواهد بود و جملاتی شبیه \(e^{i((\omega/v)z-\omega t)}\) و \(e^{-i((\omega/v)z-\omega t)}\) خواهد داشت که رفتاری سینوسی را نشان می‌دهد.

از آنجایی که موج در‌ واقع انتشار نوسان در فضاست، این موج سینوسی نشان می‌دهد که اگر در یک لحظه به فضا نگاه کنیم، الگوی نوسان را می‌بینیم که بصورت متناوب در فضا تکرار شده است. فاصلهٔ این تکرارها بستگی به سرعت انتشار موج \(v\) خواهد داشت. فاصلهٔ بین دو حالت یکسان نوسان را طول موج نامیده و آن را با \(\lambda\) نشان می‌دهیم.

حال اگر در یک نقطهٔ خاص رفتار زمانی را بررسی کنیم، می‌بینیم که در طول زمان کمیت مورد نظر در آن نقطه نوسان می‌کند. اگر نوسان متناوب باشد، تعداد تغییرات در واحد زمان را فرکانس یا \(\nu\) می‌نامیم و زمان لازم برای هر نوسان را دورهٔ تناوب یا \(T\) (و طبیعتاً \(\nu=\frac{1}{T}\)).

همین الگوی تکرار زمانی است که با سرعت \(v\) در فضا منتشر می‌شود، بنابراین طول موج در محیط و فرکانس منبع نوسان از طریق سرعت به هم مربوط می‌شوند: \(\lambda=v/\nu\) . کمیت \(\frac{1}{\lambda}\) تعداد نوسان در واحد طول را نشان می‌دهد همانطور که \(\nu\) نشان‌دهندهٔ تعداد نوسان در واحد زمان است.

بر این اساس شکل کلی جملات جواب را می‌توان بصورت \[\exp(-2\pi i (\frac{z}{\lambda}-\frac{t}{T}))\qquad\qquad \longrightarrow \qquad\qquad \exp(-2\pi i (\frac{\nu}{v}z-\nu t))\] نشان داد.
یعنی یک الگوی تکراریِ مکانی با نسبت \(z\)به \(\lambda\) و یک الگوی تکراریِ زمانی با نسبت \(t\) به \(T\).

چون این تغییرات به صورت زاویه‌ای بیان شده‌اند مناسب است که آن‌ها را بر حسب \(2\pi\) بهنجار کنیم و با تعریف کمیت‌های فرکانس زاویه‌ای \(\omega\) بصورت \(\omega=2\pi\nu\) و عدد موجی \(k_z\) بصورت \(k_z=2\pi/\lambda\)، شکل کلی را بصورت زیر بنویسیم: \[E(z,t)=E_0e^{-i(k_zz-\omega t)}\] مقدار \(\phi=k_zz-\omega t\) را اصطلاحاً «فاز موج» و مقدار \(E_0\) را «دامنه» آن می‌نامند.

جواب بالا ناقص است چون فقط یکی از دو جواب را در نظر گرفته بودیم. جواب کلی بصورت ترکیب خطی آن دو یعنی \[e^{-i(k_zz-\omega t)}\pm e^{+i(k_zz-\omega t)}\] (با در نظر گرفتن ضرایب ثابت) است. در‌ واقع جواب بصورت ترکیب خطی \(\cos(k_zz-\omega t)\) و \(\sin(k_zz-\omega t)\) نوشته می‌شود که در حالت کلی با \[E=E_0\cos(k_zz-\omega t+\phi_0)\] نمایش داده می‌شود.

همانطور که قبلاً اشاره شد، اگر در یک لحظه موج را نگاه کنیم توزیع آن در فضا را خواهیم دید و اگر در یک نقطه به آن نگاه کنیم تغییرات زمانی آن را مشاهده می‌کنیم. چون در مفهوم موج همان الگوی تغییرات زمانی (یعنی نوسانات) در مکان منتشر می‌شود و این دو از طریق فاز به هم مرتبط هستند، می‌توان سرعت انتشار موج را بدست آورد. به این منظور یک فاز ثابت را در نظر می‌گیریم یعنی \(d\phi=0\) و خواهیم داشت: \(k_zdz=\omega dt\). بنابراین سرعت انتشار این موج برابر است با: \[v_p=\frac{dz}{dt}=\frac{\omega}{k}\] به این سرعت اصطلاحاً «سرعت فاز» می‌گوییم.

موجی که تاکنون در نظر گرفته‌ایم تنها در یک راستا منتشر می‌شد، راستای \(z\). یعنی فرض کرده بودیم که بازای هر مقدار \(z\)، مقدار دامنه برای همهٔ \(x\)ها و \(y\)ها ثابت است. به عبارت دیگر مکان هندسی نقاط با دامنهٔ ثابت، صفحات تخت نامحدود عمود بر محور \(z\) خواهد بود. به همین دلیل به این امواج «موج تخت» گفته می‌شود. به مکان هندسی فازهای ثابت اصطلاحاً «جبههٔ موج» گفته می‌شود. اگر محدودیت امواج تخت را برداریم در حالت کلی می‌توان معادلهٔ موج را به سه بُعد تعمیم داد. در صورتی که موقعیت در فضا را با بردار موقعیت \(\vec r=x\hat i+y\hat j+z\hat k\) نشان دهیم و بردار \(\vec k\) را بصورت \(\vec k=k_x\hat i+k_y\hat j+k_z\hat k\) تعریف کنیم، جواب کلی موج بازای هر جبههٔ موج دلخواهی را می‌توان بصورت زیر نوشت: \[\vec E(\vec r,t)=\vec E_0e^{-i(\vec k\cdot \vec r-\omega t)}\]

از طرفی موجی که تاکنون راجع به آن صحبت شد، انتشار نامحدود یک نوسان با یک فرکانس مشخص (موج تکفام) بود. طبیعی است که این موج نمی‌تواند در جهان خارج وجود داشته باشد. زیرا باید از زمان «بینهایت قبل» تا زمان «بینهایت بعد» وجود داشته باشد (یعنی از ازل تا ابد) که امکان‌پذیر نیست. علاوه بر این حتی بفرض وجود، این موج اولاً قابل دسترس نیست و ثانیاً هیچ کارکردی نخواهد داشت. موج قرار است انرژی را انتقال دهد. چنین موجی انرژی را در فضا از منفی بینهایت به مثبت بی‌نهایت انتقال می‌دهد. به محض اینکه بخواهیم انرژی را آشکار کنیم آن را در فضا و زمان محدود کرده‌ایم و دیگر این موج بینهایت فضایی و زمانی را نخواهیم داشت. علاوه بر این در موارد زیادی انتقال انرژی به منظور «انتقال اطلاعات» صورت می‌گیرد. یک جریانِ همگنِ فضایی و زمانیِ نامحدود، حاوی هیچگونه اطلاعاتی نیست. سیگنال اطلاعاتی یعنی ایجاد محدودیت فضایی و زمانی در یک پدیده مثل انتقال انرژی. هر سیگنالی در یک زمان مشخص شروع می‌شود و در زمان مشخص دیگری خاتمه می‌یابد. به این عمل اصطلاحاً «مدولاسیون» می‌گویند که به معنای بار کردن یا سوار کردن اطلاعات بر یک موج حامل انرژی است.

بنابراین باید توجه کرد که مفهوم «موج ِتخت ِتکفام» یک مفهوم ذهنی است که مابازاء خارجی نخواهد داشت. هر نوسانی شروع و خاتمه‌ای دارد در ناحیهٔ محدودی منتشر می‌شود. در عمل تنها می‌توان به امواج «تقریباً تخت» و «تقریباً تکفام» دست یافت.

برای نجات دادن فرمولبندی ریاضی خود از حالت انتزاعی غیرفیزیکیِ «موج ِتکفامِ تخت» کافی است در نظر بگیریم که ترکیب چند نوسان با فرکانس‌های مختلف می‌تواند حالت فیزیکی مناسبی را ایجاد کند که در فضا و زمان محدود است.

در ساده‌ترین حالت می‌توان دو موج با دو فرکانس مختلف را با هم ترکیب کرد: \[E=E_1+E_2=\cos(k_1z-\omega_1 t)+\cos(k_2z-\omega_2 t)\] که می‌توان آن را بصورت \[E=2\cos \left[ (k_1+k_2)z - (\omega_1+\omega_2)t \right]/2\times \cos \left[ (k_1-k_2)z - (\omega_1-\omega_2)t \right]/2\] نوشت. با تعریف \[\bar k\equiv(k_1+k_2)/2 \qquad و \qquad\bar\omega\equiv(\omega_1+\omega_2)/2\] و \[ k_m\equiv(k_1-k_2)/2\qquad و \qquad \omega_m\equiv(\omega_1-\omega_2)/2\] شکل کلی بصورت زیر در می‌آید: \[E=2\cos(k_mz-\omega_m t)\cos(\bar k z-\bar\omega t)\] به این رابطه می‌توان به شکل موجی با فرکانس \(\bar\omega\) و عدد موجی \(\bar k\) نگاه کرد که دامنهٔ آن با موجی با فرکانس \(\omega_m\) و عدد موجی \(k_m\) نوسان می‌کند. بعبارت دیگر اطلاعات نوسان اخیر بر موج اول سوار شده است. به موج اول «موج حامل» و به نوسان دوم «سیگنال سوار شده» یا «سیگنال مدوله شده» می‌گویند. این موج دوم است که اطلاعات را انتقال می‌دهد و چون دامنه را تغییر می‌دهد به این روش «مدولاسیون دامنه» گفته می‌شود. معمولاً \(\omega_1\) و \(\omega_2\) به هم نزدیک هستند و در نتیجه \( \bar\omega\gg\omega_m\) است.

به شکل دیگری هم به موضوع می‌توان نگاه کرد. اگر دو موج تکفام با فرکانس‌های نزدیک به هم را ترکیب کنیم، معادل آن است که دامنه یک موج تکفام را با فرکانسی خیلی کوچکتر از فرکانس نوسانات آن موج تغییر داده‌ایم. چرا که فرکانس میانگین \(\bar\omega\) تقریباً برابر با فرکانس هر یک از آن دو است و اختلاف فرکانس هم بسیار کوچکتر از آن می‌شود.

اکنون مشابه قبل می‌توان سرعت انتقال این سیگنال را بدست آورد. اگر فاز سیگنال یعنی \( \phi_m=k_mz-\omega_m t\) را ثابت در نظر بگیریم: \(d\phi_m=k_mdz-\omega_mdt=0\) و از آنجا سرعت سیگنال \(v_m\)، برابر است با: \[v_m=\frac{dz}{dt}=\frac{\omega_m}{k_m}=\frac{(\omega_1-\omega_2)/2}{(k_1-k_2)/2}=\frac{\Delta\omega}{\Delta k}\] به سرعت سیگنال، «سرعت گروه» هم گفته می‌شود.

اگر فرکانس‌ها به هم نزدیک باشند، این سرعت بصورت \[V_g=v_m=\frac{d\omega}{dk}\] در خواهد آمد.

در حالت کلی و در عمل، هر سیگنال شکل خاصی خواهد داشت که در ناحیهٔ زمانی مشخصی قرار گرفته است. این ناحیه می‌تواند بزرگ باشد که در این صورت سیگنالِ پهن و گسترده‌ای در زمان داریم، یا می‌تواند بطور فشرده در محدودهٔ زمانی کوچک بصورت یک پالس ظاهر شود. از نظر ریاضی تبدیلات فوریه و یا سری فوریه ابزار مناسب برای نمایش این حالات فیزیکی واقعی را در اختیارمان قرار خواهد داد. با کمک گرفتن از تبدیلات فوریه، توزیع زمانی سیگنال را می‌توان بصورت ترکیب تعداد بی شمار و احتمالاً پیوسته‌ای از امواج سینوسی در نظر گرفت: \[E(z,t)=\int E(\omega)e^{-i(kz-\omega t)}d\omega\] معقول است که فرض کنیم مقدار \(k\) به فرکانس مرتبط است، یعنی \(k=k(\omega)\). (به بیان دیگر سرعت انتقال در محیط برای نوسانات با فرکانس‌های مختلف فرق می‌کند، در نتیجه تعداد موج در واحد طول برای آن‌ها متفاوت است). پس هر یک از امواج با یک سرعت منتشر خواهند شد. نتیجهٔ آن ایجاد اختلاف فاز بین تک تک مؤلفه‌های سینوسی موج در اثر انتشار آن خواهد بود. یعنی با گسترش موج در محیط شکل سیگنال عوض خواهد شد. مثلاً اگر سیگنال در ابتدا فشرده است، با عبور از محیط پهن خواهد شد. اگر فرکانس مرکزی سیگنال را \(\omega_0\) در نظر بگیریم با بسط تابع \(k\) حول \(\omega_0\) داریم: \[k=k_0+\left(\frac{dk}{d\omega}\right)_{\omega=\omega_0}\times(\omega-\omega_0) \] با جانشین کردن این رابطه در رابطهٔ بالا خواهیم داشت: \[E(z,t)=e^{-i(k_0z-\omega t)}\int_{-\Delta\omega/2}^{+\Delta\omega/2} E(\omega)\exp\left\{-i\left[\left(\frac{dk}{d\omega}\right)_{\omega_0}z-t\right]\Delta\omega\right\}d\Delta\omega\] شکل بالا ترکیب دو موج را نشان می‌دهد. \(e^{-i(k_0z-\omega t)}\) موج حامل است و جمله بعد موج سیگنال. این موج سیگنال ترکیب امواجی با فرکانس‌های بین \( -\Delta\omega_0/2\) تا \( +\Delta\omega_0/2\) است. برای بدست آوردن سرعت انتشار آن کافیست فازش را مساوی مقدار ثابت قرار دهیم یعنی: ثابت = \( (dk/d\omega) z-t\) . بر این اساس سرعت گروه این ترکیب امواج برابر است با: \[\frac{dz}{dt}\equiv V_G=\frac{d\omega}{dk}\] محیطی که در آن سرعت انتشار امواج به فرکانس یا طول موج آن بستگی داشته باشد، «محیط پاشنده» نامیده می‌شود. سرعت سیگنال یا سرعت گروه در این محیط با سرعت فاز متفاوت است. محیط خلاء پاشنده نیست، اما عموم محیط‌های دیگر کم یا زیاد خاصیت پاشندگی دارند.

امواج الکترومغناطیس انرژی را انتقال می‌دهند. می‌توان نشان داد که در محیط خلاء، این انتقال انرژی بر حسب بردارهای \(\vec E\) و \(\vec H\) بصورت \(\vec S=\vec E\times\vec H\) نوشته می‌شود. بردار \(\vec S\)، آهنگ زمانی شار انرژی الکترومغناطیسی را نشان می‌دهد و به «بردار پوینتینگ» موسوم است. این بردار جهت انتقال انرژی را نیز مشخص می‌کند. در خلاء و بسیاری از محیط‌های متعارف این جهت در جهت بردار انتشار \(\vec k\) است.

سرعت تغییرات زمانی (فرکانس) میدان‌ها در ناحیهٔ نور مرئی بسیار زیاد (حدود \(10^{14}\)) و آشکارسازی و اندازه‌گیری کمیت‌های مرتبط با آن بسیار مشکل است. بنابراین عموماً مقدار میانگین این کمیت‌ها در یک فاصلهٔ زمانی بمراتب بزرگ‌تر از زمان یک نوسان اندازه‌گیری و ثبت می‌شود. بر این اساس مقدار میانگین آهنگ انتقال انرژی هم بصورت زیر بدست می‌آید: \[<\vec S>=\frac{1}{2}\vec {E_0}\times\vec{H_0}\] که انرژی را به دامنهٔ میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی مربوط می‌کند.